\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
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\graphicspath{ {./} }
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\usepackage{subcaption}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usetikzlibrary{arrows.meta, decorations.pathreplacing, 3d}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{柱子密度均匀}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
			\centering
			\begin{tikzpicture}[
				square/.style={draw, minimum size=1cm, thick},
				axis/.style={->, >=stealth, thick}
				]
				
				% 绘制坐标轴
				\draw[axis] (0,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
				\draw[axis] (0,0) -- (0,4) node[above]{$y$};
				
				% 绘制堆叠的正方形
				\foreach \i in {0,...,3} {
					\node[square] at (2,0.5+\i*1) {$\i$};
				}
				
				\draw[<->] (2-1,0) -- (2-1,1) node[left,midway]{$\Delta h$};
				\draw[<->] (2+1,0) -- (2+1,4) node[right,midway]{$H$};
				\draw[<->] (1.5,4+0.5) -- (2.5,4+0.5) node[midway,above]{$A$};
				
			\end{tikzpicture}
			\caption{想象竖直柱子由若干积木组成}
		\end{subfigure}
		\hfill
		\begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
			\centering
			\begin{tikzpicture}[square/.style={draw, minimum size=3cm, thick}]
				\node[square]  at (0,0) {};
				\draw[->] (0,-1.5)--(0,-0.4) node[right,midway]{$F_1$};
				\draw[->] (0,1.5)--(0,0.5) node[right,midway]{$F_2$};
				\draw[->] (0,0)--(0,-0.4) node[right,midway]{$\Delta m_1 g$};
				\node[] at (-1.2,-1.2) {$1$};
			\end{tikzpicture}
			\caption{其中一块积木的受力}
		\end{subfigure}
		\caption{示意图}
	\end{figure}
	
	\footnote{本笔记使用AI辅助}
	假设有一个竖直放置在地面的均匀质量柱子，其总重量为$m_{tot}$，高度为$H$，横截面面积为$A$，质量密度为$\rho = M/(AH)$，
	重力加速度为$g$，请问其内部的压力分布？
	
	我们假定这个柱子由大量积木（术语：微元体）堆积而成，每一个积木高$\Delta h$，质量为$\Delta m = \rho A \Delta h$。
	那么，对于其中的一块积木，例如$1$号积木，其受三个力：来自上方的压力$F_2$、来自下方的支持力$F_1$以及自身重力$\Delta m_1 g$。
	由于积木静止，这三力应该达到受力平衡（取向下为正方向）：
	\begin{equation}
		F_2 + \Delta m_1 g - F_1 = 0
	\end{equation}
	因此，
	\begin{equation} \label{eq_forceeq}
		p_2 A + \rho A \Delta h g - p_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad p_1 = p_2 + \rho \Delta h g
	\end{equation}
	其中$p$是压力。
	以此类推，
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			p_0 = p_1 + \rho \Delta h g \\
			p_1 = p_2 + \rho \Delta h g \\
			p_2 = p_3 + \rho \Delta h g \\
			\dots\\
			p_{N-1} = p_{N} + \rho \Delta h g \\
		\end{cases}
	\end{equation}
	比较特别的是$p_0$与$p_N$，由于$p_0$下方是地面，因此$p_0$相当于地面的支持压力；而$p_N$上方再无积木，因此$p_N=0$。
	根据这个递推公式，我们得到
	\begin{equation} 
		p_M = \rho (N-M) \Delta h g \qquad 0 \le M \le N
	\end{equation}
	在连续极限$\Delta h \to 0$下，这意味着在高度$h$处，柱子内部压力为
	\begin{equation}
		p = \rho (H - h) g = \frac{m_{tot}}{AH} (H-h)g \qquad 0 \le h \le H
	\end{equation}
	这个结论非常平凡，但实则又有那么一点点不平凡：一个竖直柱子内部的受力是“不均匀的”的，越靠近底部的部分内部压力越大。
	这也是为什么高层建筑下部结构需要更强的承重能力。
	
	
	\newpage
	\section{柱子密度非均匀}
	更有意思的事情是，假设柱子内部的物质可以像气体一样在重力下流动而使密度不再均匀，但$m_{tot}$总量保持一致，
	此外柱子不再有固定的“高度”$H$，
	会发生什么呢？
	根据理想气体方程：
	\begin{equation}
		pV = nRT \Rightarrow p = \frac{\rho}{M} RT
	\end{equation}
	其中$n$是气体的物质的量，$M$是摩尔密度，$m = n M$。也就是说，压力和气体密度成正比。
	那么\formula{eq_forceeq}变为
	\begin{equation}
		p_1 = p_2 + \rho \Delta h g
		\Rightarrow
		\frac{\rho_1}{M} RT = \frac{\rho_2}{M} RT + \rho_1 \Delta h g
		\Rightarrow
		\rho_1 = - \frac{\rho_2 - \rho_1}{\Delta h} \frac{RT}{Mg}
	\end{equation}
	在连续极限$\Delta h \to 0$下，差分变为微分
	\begin{equation}
		\dv{\rho}{h} = - \rho \frac{Mg}{RT}
	\end{equation}
	这是一个简单的一阶ODE，解得密度随高度的分布：
	\begin{equation} \label{eq_massdistrb}
		\rho = \rho_0 e^{-\frac{Mg}{RT} h}
	\end{equation}
	其中$\rho_0$相当于地面附近柱子的质量密度。
	随后根据总质量的条件计算$\rho_0$：
	\begin{equation}
		m_{tot} = \int_0^{+\infty} \rho A \dd h = \rho_0 A \int_0^{+\infty} e^{-\frac{Mg}{RT} h} \dd h 
		= \rho_0 \frac{ART}{Mg}
		\Rightarrow
		\rho_0 = \frac{m_{tot} Mg}{ART}
	\end{equation}
	因此，相应的压力为
	\begin{equation}
		p = \frac{\rho}{M} RT 
		= \frac{\rho_0}{M} RT  e^{-\frac{Mg}{RT} h}
		= \frac{m_{tot} g}{A} e^{-\frac{Mg}{RT} h}
	\end{equation}
	简单地检查一下结果：$mg$具有力的量纲，$A$是面积量纲，$e$指数无量纲，因此整体具有压强量纲，与预期相符。
	
	根据 \formula{eq_massdistrb} 指数衰减的性质，我们预期大多数质量都分布在一定高度之下。
	根据指数衰减的数学性质，\formula{eq_massdistrb}的“特征高度”为
	$$
	h_{characteristic} = \frac{RT}{Mg}
	$$
	也就是说，这里存在“矛盾的对立统一”：重力希望气体尽可能下沉，而温度希望气体尽可能扩散，二者共同使气体密度随高度呈指数衰减。
	随着温度的升高，气体的分布范围将会加大等。
	
	比起上述密度均匀的模型，这个密度不均匀的模型更适合描述大气质量与压力分布。
	不过真实的大气复杂得多--其并非处处等温，也不处于动力学平衡态。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				axis lines = middle,
				xlabel = $h$,
				ylabel = $p$,
				xmin=0, xmax=5.5,
				ymin=0, ymax=1.2,
				xtick={0,1,2,3,4,5},
				ytick={0,0.5,1},
				legend pos=north east,
				grid=major,
				grid style={dashed,gray!30},
				width=10cm,
				height=6cm
				]
				
				% 绘制 y = 1 - x (0 < x < 1)
				\addplot [
				domain=0:1,
				samples=100,
				color=blue,
				thick
				] {1-x};
				\addlegendentry{密度均匀}
				
				% 绘制 y = e^{-x} (0 < x < 5)
				\addplot [
				domain=0:5,
				samples=100,
				color=red,
				thick
				] {exp(-x)};
				\addlegendentry{密度不均匀}
				
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{上述两种情况，柱内部压力分布随高度的示意图}
	\end{figure}
\end{document}